潘丽云:魏尔斯特拉斯的复变函数思想分析(2009)(2011-01-14 22:34:30)



Weierstrass的算学取得:
一、分析
在实、复解析函数的两三个支持
函数论的3个失败经过。。
解析函数论(1876)
解析开幕
完成的解析函数
实质异常是由幂到处明亮的度的。、整函数、优于整函数
全部地函数表决成无量写信。
子(半)纯函数可以表现为整函数的两商。
忧虑长圆函数
算学分析(相对的)
19世纪60年头,Weierstrass增加了εδ语风。。
19世纪60年头,Weierstrass增加了无抑扬顿挫的有界次要的。。
变分计算
二、代数
二次型
三、差别什么价钱
测操纵绳与最小曲面
四、代数什么价钱

摘要
本文采取倒转术分析法。、历史详述与对比地详述方式,韦尔斯特拉斯的原始论文和作演讲不隐瞒的阐明。、片面、字母的体系阐释与分析,同时,如他的教师和倚靠算学史自然学科家,探究根本成绩——韦尔斯特拉斯复杂函数思惟、次要意思是身材和开展方式论和业务。,接合的业务分析等紧密相干管辖范围,分析、接合的Weierstrass复变函数的业务骨架,并将表现于其达到目标魏尔斯特拉斯复变函数思惟的特点做出深刻总结和成立评价。取慢着以下次要效果::
1。关怀Weierstrass复杂分析的亲嗣相干。,十九世纪复变函数的开展详述,引见了通向双分解三个根本路途——代数分析、结合、什么价钱。提示德国的算学复合分析和古德曼,排了魏尔斯特拉斯开展复变函数业务的动机。
2。Weierstrass凸出的性命的综论。,从寿命轨迹到学术生活和极力主张参加竞选。,他在不相同的管辖范围的取得概述、检测出与极力主张检测出。深刻表现了魏尔斯特拉斯在19世纪后半叶作为算学界领军人物的果心位与有效地的推动。
三。Weierstrass初期三篇散文述评,解析函数的结合表现、议论了到处表现和差别体现的业务。,在了相当要紧的末后,如双到处定理。、柯西结合定理和劳伦特到处定理等。,Weierstrass双分解方式的产生及COMP的根底。
4。从中期分析Weierstrass的分析要素业务。,它表达了Weierstrass算学思惟的持续。,经过对复杂函数业务的相当根本成绩的关怀,表当代人数方式的详述方式。。复变函数相干度的详述,重力了这一阶段包罗的算学思惟对后头全部解析函数业务具有必然的思惟吸入力。
5、深刻详述了Weierstrass晚上用的。,更确切地说,在柏林学会的培养持久。,完成或完毕两三个协助德国科才能。,借助解析函数的使具有特征,一段时期了TH,这喻Weierstrass详述了复变函数的业务。。这一阶段是复杂分析业务的深化。、全部业务骨架的身材。
6.透彻的分析了魏尔斯特拉斯教师的“解析函数导论”教室笔记,全部地明亮的地重构魏尔斯特拉斯函数业务体系。Weierstrass把解析熭的观念作为本人根本的组成使分开。,停止解析延拓,这么可以在局部的解析函数。。Weierstrass复变函数业务的本人完成的分析、业务与方式。
7.根究了魏尔斯特拉斯复变函数思惟导致的拉力与限制。Weierstrass忧虑整函数和亚纯函数的详述已开,对福建胜任的庞大的胜任的庞大的传达室开展的深刻启发和辅导。另一支持,分析了魏尔斯特拉斯复变函数思惟中代数性的局限,当当代人复变函数转向什么价钱相干充沛地开展时,复杂函数的思惟和方式逐步渐弱。。
关键词:魏尔斯特拉斯,复变函数,幂到处,解析延拓,算术化
小引
选题的1大意思
Weierstrass的复变函数思惟不注意到详述专著。使分开缘由是要素手的字母是不容易在的。,眼前,它只保在德国科才能的档案馆里。;别的,魏尔斯特拉斯的样稿和出来均是用德语文字,字母购置物和语风两个要素事业了陷入困境。。运用字母和语风便利,作者详述了特拉斯复变函数。,停止了国际在这支持的详述不成。。
2使发誓综述
第本人是与复杂效能使关心的技术和历史专著。,次要引见复变函数读本及其开展。,它们通常出现时通史专著中。。每个政府都有分歧的古典的的复合函数教科书。,如德国所使变得的解析函数业务的根底。,美国波利亚构成的复变函数,龚胜省略语、复杂的分析,可以由人家构成复杂函数等。。这些教科书体系地引见了复变函数的根本业务。,包罗解析函数、复函数结合、解析函数的幂到处表现、洛朗展式、隔离种群异常、剩余额业务、共形熭、解析延拓等。。从读本的配给上可以看出。,柯西、Weierstrass和黎曼的思惟和业务已被同次性到,考查倘若的思惟分歧的的生长,这些读本是精华的的业务根底。。别的,复变函数业务的开展史,这一向是中外算自然学科家关怀的成绩。,对算学分歧的停止了片面而广为流传地的详述。。复变函数业务的亲嗣相干与陈旧的详述,常见于算学专著或通史。,譬如算学史。,算自然学科家十九世纪算学开展笔记,算自然学科家常的史自然学科家Morris
Kline的古今算学关心,十九世纪算学史,倚靠人写的当代人算学史。,分析史,算学史导论,算学史学任务者李文琳的算学史。是你这么说的嘛!通史著作概述了COM的总体开展轨迹。,概述代表的果心思惟。,禁闭写信的使具有特征,对有形的复变函数观念的取消法令分析。
二是一生。,Weierstrass的一生不只在《算学词典》中引入。,他的同伴们、教师和较晚地的学会会员都有忧虑配置详述的文字。。像他的教师荣格、Mita Reeve回忆录,直率的天脉传奇Weierstrass,这亦本人历史宣言。,到这地步,他们的文字在事先是有学术意思的。,算学配乐与Weierstrass参加竞选描画、片面,这对逮捕Weierstrass在Berli的导致有大好的启发。。另外,除此之外Weierstrass的念心儿集。,这是1965年在他的故乡威斯特伐利亚地面召集的念心儿魏尔斯特拉斯生日150周年的的国民大会随后,这次国民大会颁发的念心儿座谈会。。
3详述目的
4使发誓立体图
经过对Weierstrass复变函数的专业综合考试考查,复变函数业务分为三个阶段。:1840年至1842年、1843年至1855年、1856年至1895年,区别为复变函数的业务根底确立或使安全了根底。、详述转向与业务自主地开展期。如Weierstrass的样稿和教师笔记,阐述他处置复杂变量的详细方式和思绪。全文共分七章。,每章的使发誓和灵都在上面停止了简洁的的总结。:
要素章,复合分析的历史和现况开展到19世纪,从八世纪到NIVEN专业综合考试函数的开展。八世纪欧拉和Darren Bell的末后,复杂分析具有孤独开展的养护。,十九世纪阿贝尔和高斯做出各自奉献,从代数分析、结合、什么价钱的三个相干议论了复杂分析的方式。;在此根底上,三位算自然学科家柯西身材了。、魏尔斯特拉斯、黎曼创作能力的任务,三倍的数孤独开展在二十世纪一致。。
另外的章,Weierstrass的算学开蒙与性命体会,有两个阶段。:Weierstrass生前四十年四十年性命。
第三章,透彻的考查了魏尔斯特拉斯初期(1840-1842)论文达到目标解析函数思惟与方式。1840年至1842年持久,William Stella完成或完毕了四篇论文。,而且忧虑长圆函数的要素篇文字外,其余三与解析函数使关心。。本章重心引见这三篇忧虑解析函数的论文。:《变量相对中间状态两个思索到包边经过的单复变解析函数的表现》(1841年)、幂到处业务(秋天1841)、用代数差别方程明亮的度单变量解析函数。提示Weierstrass复变函数已被突然跌倒或落下。,即使他宣称是由于阿贝尔的效能业务。,但他不依赖于柯西复结合定理和结合体现。,与解析函数的幂到处表现却身材了具有魏尔斯特拉斯特点的解析函数果心观念与定理。
四分之一章,次要阐述魏尔斯特拉斯中期(1843-1855)在长圆函数业务达到目标解析函数任务。他这一时期的算学详述任务以阿贝尔函数为重心。中等学校培养后,先后完成或完毕了三篇文字。:解析遗传因子(1843)的注记、三定结合的观念化(1844)、阿贝尔结合业务(1849)。他赚钱了阿贝尔业务和分析要素的文字。、推广区别颁发在《卡珊卓拉·克蕾儿事实》上第49卷(1853年)和51卷上,阿贝尔业务一经颁发,就导致了算学界的激烈返回。,给他引来性命转机点。他注意到详述阿贝尔的效能。,减弱了对复变函数业务的珍视。,又,他的解析遗传因子业务拓展了复变函数的观念。。魏尔斯特拉斯对一类解析遗传因子函数的使具有特征详述为后头的表决定理做了思惟上的铺垫与为解析函数类整函数的零点使发誓开价了详述思绪。
第五章,透彻的阐述了魏尔斯特拉斯在柏林教教师活中(1856-1895)双分解思惟的深化。本章次要议论Weierstrass在柏林的任期。,对持续停止的分析函数业务的深刻详述:单值解析函数的业务(1876)、《复变量业务》(1884年)与1879年的一份样稿《不稳定的量解析函数论的两三个相干定理》[这篇文字和后面提到的1876年《单值解析函数业务》文字在1886年一致校订为《函数论》,如倒转术达到目标挨次,包罗:单值解析函数1-52页的876年业务;880。MITA列维的函数定理,53-66页。;880效能业务670—104页;879《不稳定的量解析函数论的两三个相干定理》105-164页;不稳定的量过去某一特定历史时期的函数业务次要定理的新使发誓。],解说了他经过解析函数的根本观念(如、延续域、合格的性、异常的明亮的度、异常业务的使发誓(实质异常)、非实质异常等。、各式各样的函数(如整函数)的使具有特征和定理、优于函数等,了解了双分解的深化

要素章 历史与配乐
概述
1752年,Darren Bell在处理与易转换成现款的力学使关心的成绩。,率先是使变得同样的人的柯西-黎曼方程uxx= vty toDA。,v_x=-u_y,碰见,本人复变量z=x+iy的函数f(x+iy)=u+iv可以写成实部和虚部。
1761年,Darren Bell使发誓U和V遵守方程。,咱们现时把即将到来的方程称为拉普拉斯方程。:
△u=u’’_x+u’’_y=0,△v=v’’_x+v’’_y=0。
这是拉普拉斯在1770年详述旋转者的相干中碰见的。确实,欧拉在1752中在易转换成现款的活动中碰见了即将到来的方程。。欧拉在1748年的《无量分析采用》中早已广为流传地运用变得多数和复变量,即使他不注意到不寻常的的地明亮的度它。他后头在《1771代数基础知识》中写道。,由于现时自己的事物可能性的数字,这是可以设想的。,不超过零或没有零。,或无法律效力。;这是去不寻常的的。,正数的平方根计算不出可能性的数:因而咱们必然的说,这些数字是不值当讨论的性的。。这就衍生了数字的观念。,他们的实质是不值当讨论的性的。,通常是虚数。,或使发誓的胜任的。,由于他们公正的设想,而责怪明亮的度的胜任的。。
欧拉冲洗了胜任的庞大的胜任的庞大的技术。,一支持,它被功能到轨道什么价钱业务和,另一支持,它被功能于结合业务。,这些技术是由于复杂的效能。。1777年和1781年,Euler在Stpe完成或完毕的论文中详述了ZDZ结合,在这点上z=x+iy,与Z=M+iN。他决定,结合体现p iq,在这点上P=∫Mdx-Ndy与Q=∫Ndy+Mdx。用当代人术语,欧拉注意到到了。,就像他鬼魂的Darren Bell两者都。,M,N与P,Q亦本人使配合谐函数。。特别地,他将是你这么说的嘛!方程功能于实结合。。
达兰贝尔和欧拉的末后(包罗欧拉的使筋疲力尽表情e^(ipi)+1=0)不寻常的的后,在当代人算学中,复杂分析开展成本人单一的管辖范围。,又,直到十九世纪柯西才死亡。、黎曼和Weierstrass生长生长。早已身材了三条不相同的的经外传说航线。:柯西分析航线、黎曼什么价钱小路与Weierstrass代数线。在二十世纪的前十年,当代人的UnVaR业务。

2结合小路事业复变函数。
变得多数议论,八世纪戴伦钟、Euler和拉普拉斯的详述任务也屈尊做某事复杂函数。。他们在高斯和韦塞尔。、阿尔冈使变得变得多数适于眼睛的意思即把变得多数与立体航向对应起来处理业务成绩的什么价钱表现的根底上,根究了单复变函数的业务。。如达兰贝尔不寻常的的了本人复函数的实部和虚部[达兰贝尔在他的易转换成现款的力学论文《试论易转换成现款的阻碍的本人新业务》中议论的。];欧拉提示了到何种地步运用复变函数来计算真值。,1797)[从1776到1783残冬腊月]。,欧拉写了到处论文内侧有两篇是在1793年和1797年颁发的,触及运用复杂函数来计算实结合。。],其实,经过本人变得多数立体的亲嗣相干的射线结合。,运用此方式查找相当结合值。;拉普拉斯也运用了复函数去求结合的值(1782-1812)[从1782年到1812年颁发他的名著《概率分析业务》为止的到处论文中议论了这些成绩。内侧,拉普拉斯引入拉普拉斯交替的来求解差别方程。。即使欧拉的议论比拉普拉斯晚些时辰颁发。,但这项任务必然的先于后者。。],像欧拉两者都。,将实结合找头为复结合计算ReA值。
由于复变函数业务,高斯引见了简略复变函数的相当根本观念。。1811年他在给贝塞耳的一封信中提示结合∫φ(x)dx经过不相同的的小路时,设想X变得由两个小路所限的区域中,则它是单值的。,结合值是最好的的。。当x落下极大的,结合值可以是多个。,这兴奋合拢小路选择的点的胜任的来改建为I。。
泊松(,1781-1840)在1815年至1820年间详述了沿复立体上的小路所取的复函数结合,沿着编造的小路提示。,沿同一事物业务小路的结合值不必然相同的。。他是第本人在复杂测算表的路途上同次性结合的人。。即使高斯和Poisson在了这些根本末后。,不管到什么程度却不注意到颁发过更要紧的忧虑复变函数的文字。这么使变得了复变函数业务。,率先,它应该是柯西(17891857)。。
1814年,柯西的任务转向了复杂分析管辖范围。,往年他读了一篇忧虑巴黎交流中定结合业务的论文。,但它直到1825才问题。,颁发于1827,添加两个正文。,大抵表达了时期恢复业务和T业务的开展。。忧虑非实结合的值,这是忧虑复变函数业务的要素篇要紧论文。。他不只在论文的小引中提到了欧拉。,除此之外拉普拉斯。、泊松与勒让德的新任务[即勒让德的著作《结合学演习》(1811-1817)],并了解了经过易怒可以在更多结合计算。,它是由于真实到编造的的过渡。,为了这个目的,柯西追求直率的和严厉的方式来使变得这种找头。。
在他的用公报发表中,他率先反省了返回式。
δ[f(y)y_x]/δz=δ[f(y)y_z]/δx,—-()
Y是X。,Z函数,即,y= y(x),z)。直率的经过差别可以坚信礼即将到来的方程。,当Y使分开是真实的,当本人使分开是虚的时,即将到来的相等亦马上的。。将有y=m(x)。,z)+iN(x,z)和f(y)=P’+iP’’。将这两个表情代入,求方程:
S_z=U_x;T_z=V_x—-()
柯西思惟,方程组包罗R交替的的普通业务。。内侧P’,P’’是M,n的偏派生物。从()就可以排出出同样的人的柯西-黎曼方程[后头黎曼在1846年在复变函数方程W=f(z)=P(x,y)+iQ(x,在Y),内侧,P(x),y),Q(x,y)是忧虑实变量x的。,Y的两个实函数,z=x+iy,以DW/DZ=DY/DX为起端的对比地,设想且仅当DW/DZ的值与DZ无干,W是本人解析函数。。非常的咱们就可以孤独地在同样的人的柯西-黎曼差别方程。。
柯西这篇论文的要素使分开是忧虑方程组的功能,矩形区域中方程()的结合,函数S,T,U,V是结合区域达到目标合格的函数。。跟着人去他提到交换M(x)。,z)=x,N(x,z),马上选择函数f(y),你可以辨别出相当特别的点。,如
∫[0,∞]e^(-x^2)cos2xzdx或∫[0,∞]e^(-x^2)sin2xzdx。
由于他的次要意思是计算结合值。,到这地步,他不注意到注意到到,在这种情况下,(Cauchy Riemann)方程是排出暴露的。。
又,值当注意到的是,即使柯西宣称如此的,不管到什么程度,它并不注意到不寻常的的地提示到何种地步包罗回复业务。。柯西和他的同时期人尾随欧拉。、拉普拉斯的业务,用复函数来计算实定结合的值。即将到来的方程与每本人虚函数p′ ip使关心。。勒让德和Poisson提示,COXI的自己的事物侦查都是熟习的。,另外,他用房屋的数字来完成的分析。。
另外的使分开详述了一种特别的定结合方式。,柯西称之为奇特结合。。像高斯两者都,Poisson也注意到到表情[A,b' f(x)dx= f(b)-f(a),当f′(x)为无量大时,结合区间为无量大,则事业。但柯西在复杂场达到目标结合公正的体系地详述了I。。
1821年,柯西分析全部课程,复函数被逮捕为具有两个实函数的函数。,每个编造的方程仅仅是两个相等的手势表现。,更确切地说,这两个实部是复变函数的有意思灵。,而责怪运用复杂函数作为根本存在。,更确切地说,不注意到复变量的复变量被思索。。
1822年,对无量小计算总结的注记,柯西结合定理是本人沿矩形包边的复结合。,提示了这种情况下的结合和小路无干性。。
1825年,柯西完成或完毕了另一篇忧虑Primor结合结合限量的文字。,但这篇文字直到1874才出来。,这是他最要紧和最生产能力的论文经过。。在这篇论文中,他再次以复值代表∫[a->b]f(x)dx达到目标常数及变量的的方式来计算结合。和装备复函数的结合明亮的度。,复变量函数的明亮的度被明亮的度为限量O。,与实函数同时产生或出现的结合明亮的度,区别对待、安排和取限量的举步。。[不隐瞒的议论了复函数结合∫[x0+iy0->X+iY]f(x)ds,内侧z=x+iy.他明亮的度即将到来的结合为∑[v=0->n-1]f(x_v+iy_v)[(x_(v+1)-x_v)+i(y_(v+1)-y_v)]的限量,内侧,X0,x1,…,x和y0,y1,…,y是(x0),Y0)到(x),y)小路的破碎点。他塑造并使发誓了这点。:设想f(x y)是x0没有x,x和y0没有x的无限延续的,和[x0 iy0->x yI] f(z)dz和x= x=(t)的值,y=(t)的体现与小路无干。。更远地提示复结合的本人使具有特征。,若在两条不相同的的小路经过不注意到复函数的幕间休息点,结合与小路无干。,这一末后综合了柯西仓促使变得的末后。。他还思索了设想函数是不延续的Isid会产生什么。,当函数在本人点上是无量大的时辰,有本人单极。,结合的差是结合残差的2π倍。,增加了结合残差的观念。,还装备了残基的词句。。残滓的观念和开展是焦炭的要紧奉献。引入这些观念的意思是计算DEFIN的值。,这也使他在开展时包含了结合的特点。。
1831年,柯西也颁发在《分析与算学身体检查业务》中。,装备了函数散发的McCurkin到处的判别原则。,采取强到处的对比地到处。。在即将到来的定理的使发誓中,在的末后执意咱们现时同样的人的柯西结合表情f(z)=(1/2pii)∫_0.[f(t)/(z-t)]dt。C是区域D的包边。,Z是D达到目标恣意非常。。
1846年,柯西完成或完毕了别的一篇忧虑复函数的要紧论文《一段时期到本人闭购得的自己的事物点的结合》。他将解析函数沿着本人单连通区域包边的结合与在全部地即将到来的区域上的结合连接点起来,使发誓了解析函数在整立体上的结合值。,复函数根本定理和小路无干Ⅰ的本人新使发誓。并将矩形区域散发到不切成的关上购得。。
与1814年、1825年、1826年度不相同的论文,在1846篇论文中,柯西的复变函数观产生了多样。,他从复杂函数转变到实结合计算。,并使变得了业务根底。。到这地步,他还详述了多值函数的结合。,提示多值函数的结合与T使关心。。但柯西的多值函数结合观念仍有必然的局限。。
好多年,柯西事实上开展了复变函数业务。,到1843年,劳伦特(1813-1854)获慢着新的末后。:复函数在环O上抬出去为收敛幂到处,劳伦倘若理。即将到来的定理确实是Weierstrass比Lau早两年实现预期的结果的。,但Weierstrass并不注意到上级的发布他的碰见。,忧虑这点,上面将不隐瞒的议论这些章节。。
1850年,Victor-Alexandre Puiseux详述了多值函数成绩。。要素次,两极和枢轴被不寻常的地明亮的度了。,引见了实质异常的观念。,更确切地说,极大的的限量。,忧虑即将到来的观念,特拉斯也有孤独的任务。,总之,Weierstrass从POW的角度详述了复变函数。,不注意到办法转移这些观念。。另外Puiseux使发誓若复函数沿着不包罗使绕枢轴旋转去甲使函数无量的点小路结合,结合值不依赖于小路。。PuiSux改善柯西函数散发到McCurkurnSe的定理,提示了使绕枢轴旋转邻近复函数的抬出去。。
1851年,柯西在用公报发表达到目标论点,装备了复函数的使具有特征。,使发誓复函数自身的持续及其解。。柯西在这年的论文中引进了新的术语——单值函数(Monotypique),Monogenic函数(单元)与全纯函数(同构)。在附近本人区域达到目标每个变量,当函数为剩余的值时,这是单支持的。;在附近每个复变量,它偶然发生有本人派生物。,更确切地说,派生物小路无干函数是单元函数。。Weierstrass在详述复杂函数。,增加了单情报函数的观念。,但其意思与柯西完成的不相同的。,以下议论。设想复函数责怪极大的的、有本人派生物,单一的值落下了同义词。。后头(查尔斯)
A.A.Briot,1817-1882)和(Jean-Claude Bouquet,1819-1885)引进了“holomorphic”代表“Synectique”,指全纯函数,联合体亚纯函数来表现亚纯函数。,更确切地说,即将到来的地面最好的限量。。
间接反驳三 Weierstrass写信总集及序文
1.Karl Weierstrass,算自然学科家 沃克,(Anhandlung (i)[纸]:一共356页
扩充1。1840全盛时期的模函数(和正文),Westernkotten in Westfalen 1-50
本人简略复变量经过解析函数的词句,部长51-66
三。幂到处业务 1841秋,部长67-74
4。用代数差别方程明亮的度单变量分析函数,部长75-84
5.解析遗传因子的注记【1842年秋至1843学秋(1842至1843学年)德国克罗恩中等学校年刊增刊】1843年8月Deutsch-Crone
6。本人三定定结合的观念化 1844年Deutsch-Crone
7.阿贝尔结合业务【1848-1849学年Braunsberg高级中等学校用公报发表增刊】1849年7月17日Braunsberg
8.阿贝尔函数业务(及正文)【颁发于卡珊卓拉·克蕾儿的《晴朗的与功能算学事实》49卷,1854,1853年9月11日盐水 Westernkotten in Westfalen
9。分析遗传因子业务〔Uecker Lehr纯与功能杂志》出来,】
10。科才能进入方法演讲〔柏林上级的国民大会》
11.运用对数对代数差别停止结合【摘自1857年2月26日皇家科才能按月的】
12。二阶齐次方程业务及其在小波分析达到目标功能,1858年3月4日,】
13.代数根本定理的新使发誓【在1859年12月12日皇家科才能按月的上读到的】
14。椭球上的大陆地线〔柏林科才能按月的〕,1861年10月31日,】
15。忧虑超长圆型差别方程结合的注记〔柏林〕,1862年,】
16.常系数一次的偏差别方程的结合【v.卡瓦列夫斯卡娅颁发于《算学杂志》第6卷,1884年,(1861)即将到来的蚊帐是写成的。,并在1863年和卡瓦列夫斯卡娅的详述末后一统颁发在科才能按月的上)
17。阿贝尔函数业务[选取CRYLL事实卷第五十二。,这篇摘公正的原文的一使分开。,由于超长圆函数是在上面惩戒和问题的,这一生产能力与长圆函数及其要紧灵使关心。
2.Karl Weierstrass,算自然学科家 沃克,(Anhandlung 二):一共363页
1。忧虑一类实过去某一特定历史时期的函数(普鲁士皇家柏林详述院),1866,)
2。双一次的二回业务(柏林科才能按月的),1868,)
三。具有单值和2n个过去某一特定历史时期的的n个变量函数(柏林ACAD),1869,)
4。Dirichlet规律
5。不稳定的量过去某一特定历史时期的函数业务次要定理的本人新使发誓,1876,;效能业务论文选(柏林1886),正文
6。忧虑本人实变函数,它的支流不在于什么都可以放置。。
7.本人常系数差别方程组的结合的正文
8。单值解析函数的业务(BE算学论文),1876,;效能业务论文选,)
变量2R过去某一特定历史时期的函数的详述(纯与APLL),89卷(1880),)
10。不稳定的量解析函数业务的两三个相干定理(MANU),柏林(无年纪)1879;效能业务论文,)
11.忧虑米塔-列夫勒的本人函数定理(柏林科才能按月的,1880,;效能业务论文选,.正文
12。效能业务(柏林科才能按月的),1880,;效能业务论文选,.正文及间接反驳(柏林科才能按月的,1881,;效能业务论文选,)
13.摘自一封眼前为止还未出来的1875年10月3日书面的舒瓦兹的教的信。
14。长圆函数业务(柏林科才能杂志),1882,.)
15。长圆函数业务(柏林科才能杂志),1883,.)
16。复变量业务(普鲁士皇家科才能,廷根),1884,舒瓦兹教师的条子附上了。
17。林德满论文:忧虑Ludolph Rudolf数(即PI)(柏林SCI才能杂志),1885,)
正文

2古德曼继承顺序写信
双曲函数[根本双曲函数]是双曲无无=无。,双曲余弦COSH=COS,双曲直线区间TANH=Tan等。。从古德曼初期写信看权利继承顺序的本人明亮的动机的。在十九世纪算学史的配乐下,古德曼的学科和任务是20世纪90年头德国算学的一使分开。。古德曼的双曲函数抬出去是微少有匠心的。,由于Euler在第八世纪早已表达了胜任的庞大的胜任的庞大的外表的使分开。。
而且详述弧形的函数、双曲函数,在长圆函数随后,古德曼也进入了视野。。远在1809,高斯就早已思索过长圆函数。,但他的写信一向保在样稿中。,直到他死了。。雅可比较的于1851死亡。,直到1842的地位,归休后在柏林,直到亡故。。因而他在德国学会有拍马者。,他们教雅可比较的在学会里的长圆函数。。古德曼既是雅可比较的的拍马者又是他的同伴。,它亦德国要素位教长圆函数的教经过。。古德曼将冲洗SNU的功能,cnu,tnu,DNU崇高的圆长圆函数。,古德曼议论了圆长圆函数。,装备了双曲长圆函数Snu。,Cnu,Tnu,DNU的明亮的度。1838年古德曼更远地考查长圆函数的过去某一特定历史时期的性(包罗圆和双曲),他碰见了它们的过去某一特定历史时期的性。,与阿贝尔和雅可比较的的意见相一致。在1835,雅可比较的使发誓不超过两个过去某一特定历史时期的。。普通过去某一特定历史时期的性成绩在了处理。。
Gooman交替的长圆函数SNU、cnu、将DNU和AMU抬出去为幂到处,系数为。
另外的章 性命颠换与算学开蒙
小引
柏林在学科史上有两个时期。,它是最要紧的算学去核。。第本人时期是八世纪,弗利德里希时期。,次要在Euler(17071783.,1741-1766年在柏林)与拉格朗日(1733-1813),1766年至1778年在柏林)。另外的个时期是十九世纪由亚历山德里亚·冯·洪堡担任示范兵的。,他在1827从法国到德国。,他满的冲洗了作为科自然学科家的王子的领土和在R达到目标推动。,把卓绝科自然学科家带到柏林。
书简与效果
设想看一下Weierstrass的算学取得就足以逮捕难解的问题治疗算学界得道者了。以Weierstrass命名的算学观念、表情、有二十四的定理和业务。,如:
魏尔斯特拉斯点、
Weierstrass意思下的解析函数(以解析延续为特点)、
Wier-Sras-sigma函数(Sigma函数)、
Wier-Sras-Gamma函数(Γ函数)、
Weierstrass zeta函数(ζ函数)、
Weierstrass P函数(图)、
[
魏尔斯特拉斯要素种长圆结合u=∫[∞->z](1/sqrt(4z^3-g_2z-g_3))dz=P^(-1)(z)的反函数z=P(u)称为魏尔斯特拉斯长圆函数。
g_2,G3是函数p(u)对立不变量的不变量。、模体现,它可以用来明亮的度相对不变量J。、模函数
不注意到GY2= GY3=0例。,差别方程的解责怪长圆函数。。p′2=4p^ 3(z=p)(u)=1/u ^ 2的解责怪长圆函数。
]
特拉斯长圆购得的精神健全的体现、
Weierstrass – Enneper表情、
魏尔斯特拉斯相近值定理、
Weierstrass的准备定理、
Weierstrass – Stone定理、
韦尔越过型(微)的准备定理 差别电话接线员、
特拉斯定理包罗:R紧使分开、紧集上的延续函数、天理异常、亚纯函数抬出去、优于整函数、波尔查诺-魏尔斯特拉斯、
卡索拉蒂-魏尔斯特拉斯、双重到处、林德曼-魏尔斯特拉斯等定理。
Weierstrass函数、Weierstrass养护(满的精华的)、SA的Weierstrass在在延续不成微函数、非结合Wier-Srases表现、
Weierstrass双到处定理、变分成绩的ε函数(1879)、Weierstrass(聚合矩阵)的原生的遗传因子、Weierstrass Edelman角养护(悬链线状态)、Weierstrass根本定理、魏尔斯特拉斯函数(P、σ、ζ)、Weierstrass结合、Weierstrass使发誓、特拉斯收敛定理、魏尔斯特拉斯购得、魏尔斯特拉斯相近定理、特拉斯正规形式(长圆结合)、与变分计算相干的Westaso遗传因子、Wier-Struts写信型与Wier-Struts写信定理、魏尔斯特拉斯点、特拉斯比率判别抄本、Weierstrass(极值)定理、Wier-Sras偏分表决定理(也称Mita Levre)、Weierstrass表情、Weierstrass业务(变论1865)、Weierstrass对比地判别法(同次性判别法)、Weierstrass的准备定理。
Weierstrass的算学奉献次要集合在。率先,他在算学管辖范围做出了最大的奉献。,作为分析学科硕士,最值当称道的是他对算术任务的分析。,到这地步,它崇高的算学分析硕士。。
其次是解析函数业务支持。,它是解析函数业务的失败。。到十九世纪底,德文“Funktionenlehre(函数论)”事实上已变得因魏尔斯特拉斯的检测出使变得的复变函数论的同义词。
二是在倚靠管辖范围的详述。,如长圆函数业务和阿贝尔函数业务,念心儿阿贝尔,他引见了用AL标准表现的函数。,不设想素类长圆结合的反演函数是ST。。他使发誓了无限解析元可以用来表当代人数。,这均胜任的使发誓代数的黎曼曲面的紧性。。他使发誓了阿贝尔函数业务达到目标本人根本定理。:P P 1元的阿贝尔函数经过在代数相干。Weierstrass在1869完成或完毕了阿贝尔结合的普通业务。,它是在到处后续全部课程中阐明的。。阿贝尔的效能是他的不可更改的详述目的。,但在他的详述颠换中,衍生品早已极超过了DeVE。,与变分方式的任务。。除此之外代数任务。。
跟随克罗内克和库默尔(区别逝于1891年和1893年)与魏尔斯特拉斯的接踵死亡,柏林的算学时期也完毕了。。
第三章 Weierstrass复变函数业务的启程
四分之一章 分析要素业务与魏反复业务的找头
小引
Weierstrass在部长在受审后,1843在西普鲁士的一所初中得到工作。,从那时起,中等学校教师生活完毕于1855。,它属于算学详述的另外的阶段。。课余时期,特拉斯次要详述阿贝尔函数。,这是他下决定降服的果心成绩。。1854,他在《线轴架》其实颁发了阿贝尔的效能业务。,Weierstrass在1855获慢着带薪放假。,为学科详述留出年,动身中等学校培养,走进算学活动或斗争的场所或场面,变得十九分之一世纪后半叶效能业务的担任示范兵者。
第五章 Weierstrass复变函数业务的深化
小引
1855年当他颁发在《卡珊卓拉·克蕾儿事实》上的文字导致轰动后,收到柏林理工才能的合同。,自1856以后,已进入详述任务的第三阶段。,当年,他去柏林学会教。,直到1892残冬腊月他的学术生活完毕。。

摘要 4-6
Abstract 6-7
小引 12-23
1 选题意思 12-15
2 使发誓综述 15-17
3 详述目的 17-20
4 使发誓编排 20-23
要素章 历史与配乐 23-47
概述 23-24
实到虚过渡 24-32
.1 用代数分析法体格编造的量 24-25
.2 结合小路事业复变函数的功能 25-30
.3 复变函数的什么价钱思索 30-32
魏尔斯特拉斯函数论的产生配乐 32-47
.1 复合分析在德国算学达到目标导致 32-37
.2 古德曼使进化任务 37-42
.3 严密性与算术分析 42-47
另外的章 性命颠换与算学开蒙 47-66
小引 47
Weierstrass的前四十年性命 47-53
2. 支持与家常的 47-49
2. 中等学校时期 49
2. 学会时期 49-50
2. 专业的算学 50-52
.5 性命转机 52-53
2.2 Weierstrass近四十年的性命轨迹 53-66
2. 学会教 53-54
2.2.2 柏林培养 54-56
2.2.3 腰槽与苦楚 56-59
书简与效果 59-64
2.2.5 思惟与检测出 64-66
第三章 Weierstrass复变函数业务的启程 66-93
小引 66
Weierstrass的要素类复效能纸 66-78
3. 复字母序列表现定理的表现 67
3. 定理使发誓的业务根底 67-72
3. 幂到处词句的最好的性 72-75
3. 到处表现定理的一段时期 75-76
.5 高阶派生物表情的排出 76-78
3.2 Weierstrass对复变量幂到处的注意到 78-82
3. 单变量双到处的系数评价 79-80
3.2.2 多元双到处的系数评价 80-81
3.2.3 双到处定理的排出 81-82
3.3 Weierstrass对简略C函数差别体现的详述 82-90
3. 差别方程的幂到处解是房屋。 82-87
3.3.2 单值解析函数差别体现的使发誓 87-88
3.3.3 多复变量到处中延拓思惟的未成熟的人 88-90
小结 90-93
四分之一章 分析要素业务与魏反复业务的找头 93-112
小引 93-94
4.1 Weierstrass分析要素的配乐 94-98
4.2 Weierstrass解析遗传因子业务分析 98-108
4. 解析遗传因子流传体现的决定 98-100
4.2.2 解析遗传因子的类型使具有特征 100-102
4.2.3 对称的解析遗传因子的出题 102-103
4.2.4 解析遗传因子的收敛性 103-104
4.2.5 解析要素的不相同的表述 104-108
4.3 Weierstrass解析遗传因子业务的评价 108-109
小结 109-112
第五章 Weierstrass复变函数业务的深化 112-150
小引 112-113
5.1 单值解析函数的业务分析 113-123
5. 解析函数的明亮的度是不寻常的的的。 113-114
5. 解析函数奇特点的类别 114-116
5. 解析函数的类别与刻划 116-122
5..1 靠边函数 116-117
5..2 整函数 117
5..3 优于函数 117-118
5..4 由于奇特性的整函数类别 118-119
5..5 各式各样的解析函数的词句 119-122
5. 函数使发誓定理的一段时期及素函数的引入 122-123
5.2 三类单值解析函数的详细详述 123-145
5. 单变量结合单值函数业务综述 123-130
5.2.2 奇特值的单值函数分析 130-135
5.2.3 多奇特点的单值函数分析 135-145
5.2. 具有n个实质异常的单值函数 137-140
5.2.3.2 实质上有N个异常。、恣意非实质异常的单值函数 140-145
5.3 具有实质异常的函数的使具有特征 145-146
小结 146-150
直觉章 培养业务与辩论名物的使完美 150-189
小引 150-152
6.1 笔记体格的配乐引见 152-156
6. 学术影响 152-153
6. 全部课程开讲 153-154
6. 正文版本 154-156
6.2 笔记简介 156-159
6.3 笔记中变得多数效能的业务体系 159-187
6. 回信业务根本观念的诚实 159-163
6.3. 引入复变函数 159-161
6.3. 使变得了解析函数的观念。 161-163
6.3. 重力一致收敛 163
6.3.2 复函业务中根本定理的意见 163-168
6.3. 函数相近值思惟的表现 163-164
6.3.2.2 和函数的到处表现定理 164-165
6.3.2.3 用相近表情交替的到处词句 165-167
6.3.2.4 幂到处体现的和函数与收敛域 167
6.3.2.5 延续统与幂到处经过的互导 167-168
6.3.3 回复业务的果心理念 168-187
6.3. 函数元素的观念与效能 168-169
6.3.3.2 解析图的解说及其使具有特征 169-183
6.3.3.3 无量元的思索 183-185
6.3.3.4 单值颗粒的明亮的观念 185-187
小结 187-189
第七章 导致与展开 189-198
小引 189
Weierstrass随后的解析函数业务的开展 189-195
7.2 Weierstrass算学详述的没落 195-196
小结 196-198
后记 198-204
参考使发誓 204-212
间接反驳 212-238
1。韦尔斯特拉斯编年史 212-217
间接反驳一 特拉斯纪事
1815年10月31日:支持
1820年,5岁:彼得亲切地开始存在了
1823年,8岁:亦作Elise)女灶神的开始存在了;当年,西奥多拉女修道院院长 W.死亡
1828年,13岁:成为父亲与玛丽亚 Theresia 岸”谢尔密切结合
1864年,49岁:7月2日,距柏林理工才能,变得柏林学会教
1897年,82岁:传染流感,和转向肺炎。,不治标,2月19日死亡
2。柏林学会全部课程容量 217-221
3.Weierstrass写信总集及序文 221-233
博士生民事法庭及其论文由4人辅导。 233-238
博士详述生科研效果 238-239
致谢 239-242
传记

6.3。使变得解析函数的观念
Weierstrass以为,函数业务可以处理这些努力地。。
Weierstrass随后的解析函数业务的开展
1。整函数与亚纯函数
1877年,魏尔斯特拉斯上级的颁发了即将到来的对整函数和亚纯函数业务的后续开展起终结功能的精神健全的表达。简略的说,Weierstrass一段时期聚合的因式表决定理。Weierstrass一段时期实聚合表决的定理。
因式表决定理:设想G(z)是整函数,它不如0,但有极大的的根(更确切地说,责怪聚合)。,和,G(z)可以被写为无量写信。。
Mita levy受到Weierstrass的吸入。,将靠边函数表决为使分开分式的定理。他从对数的差别中实现预期的结果使分开分词句。,这是本人定理,可以在函数业务的每一本教科书中找到。。
Weierstrass定理(1876):亚纯函数可以表现为两个整函数的商。。
Mittag-Leffler定理(1877):什么都可以区域的亚纯函数都可以表现为两个函数的商。,他们各位都在即将到来的地面处理了。。
二人定理,在同一事物点上,分子和分母都不为0。。
米塔·李是威尔斯斯特拉斯的本人值当信任的教师。,他为Weierstrass思惟的展开做出了奉献。。

4。价分派成绩
从收藏定理动身,引入价分派业务。,不管到什么程度,在收藏定理发布后,它不注意到导致很多返回。,缄默了几年,他改建了情势。。
整函数古典的业务在解析NU达到目标意思。用整函数表现规则词句,哈达玛在1892年头儿功地使发誓了黎曼ζ函数ζ(s)在危机带Re(s)=0,1的包边线责怪零。,包罗Prime和高斯和勒让德的猜测定理。:素数没有x胜任的x(x/Logx)。

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